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A×A的转置的秩等于A的秩,为什么

证他们同解即可.设 A是 m*n 的矩阵.1,首先Ax=0 是 A'Ax=0 的解.2,A'Ax=0 → 两边同乘以x'则有x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0 故两个方程是同解的.根据同解的定理,他们两个的秩就相等.证A乘以A的转置的秩等于A的秩同理.

A的秩 = A的行秩 = A的列秩 A^T 是 A 的行列互换 所以 r(A) = r(A^T)

证明:(1)设X1是AX=0的解,则AX1=0所以A'AX1=A'(AX1)=A'0=0所以X1是A'AX=0的解.故 Ax=0 的解是 A'AX=0 的解.(2)设X2是A'AX=0的解,则A'AX2=0等式两边左乘 X2'得 X2'A'AX2=0所以有 (Ax2)'(Ax2)=0所以 AX2=0.[长度为0的实

的秩等于a的秩,因为: a转置的子式的值等于a的子式的值 a倒置的非零子式的最高阶数等于a的非零子式的最高阶数 这个最高阶数就是它们的秩

这是矩阵的秩的性质.A的秩 = A的行向量组的秩 = A的列向量组的秩 如果把a看作A的行向量组的秩, 那么b就是A的列向量组的秩, 所以它们相等.满意请采纳^_^

的秩等于A的秩,因为: A转置的子式的值等于A的子式的值 A倒置的非零子式的最高阶数等于A的非零子式的最高阶数这个最高阶数就是它们的秩

实际上A'Ax=0和Ax=0的解是相同的.首先对任何满足Ax=0的x,必有A'Ax=0.其次对任何满足A'Ax=0的x,必有x'A'Ax=(Ax)'(Ax)=0,于是Ax=0.(这里用到了一个性质:如果B'B=0,必有B=0,原因很简单,因为B'B的对角线元素是B的各列的平方和,因此B中只要任何一个元素不为零,B'B就不会为0)所以他们的秩当然相同

设 A是 m*n 的矩阵.可以通过证明 Ax=0 和A'Ax=0 两个n元齐次方程同解证得 r(A'A)=r(A)1、Ax=0 肯定是 A'Ax=0 的解,好理解.2、A'Ax=0 → x'A'Ax=0 → (Ax)' Ax=0 →Ax=0 故两个方程是同解的.同理可得 r(AA')=r(A') 另外 有 r(A)=r(A') 所以综上 r(A)=r(A')=r(AA')=r(A'A)

设a是m*n的矩阵.可以通过证明ax=0和a'ax=0两个n元齐次方程同解证得r(a'a)=r(a)1、ax=0肯定是a'ax=0的解,好理解.2、a'ax=0→x'a'ax=0→(ax)'ax=0→ax=0 故两个方程是同解的.同理可得r(aa')=r(a') 另外有r(a)=r(a') 所以综上r(a)=r(a')=r(aa')=r(a'a)

同济大学编写高教出版的教材上写的很清楚.A乘A的转置x=0与Ax=0是同解方程.同解故等秩.证明略.

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